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Sistema de Ecuaciones Lineales

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.  En general, un sistema con m ecuaciones lineales n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

Donde son las incógnitas y los números aij Є K son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo K= R, C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1)

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: Ax = b Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo R, es decir, los sistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales. La intersección de dos planos no paralelos es una recta.  Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.   En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución. En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto, las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.  Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta óptica.

Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
  • Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
  • Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

S. Compatible Determinado   det (A) ≠ 0

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0,5 y que pasa por el punto (-1, 1), por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

Sistema Compatible indeterminado   det A = 0

• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matemáticamente un sistema de es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Sistema incompatible   det A =  0   

Métodos de resolución

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.  En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y , que además ya se encuentra despejada.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: -4x-6y=-10, Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x: x=-6. El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y es igual a 17/3

Método de Gauss

La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

Su matriz aumentada será esta:

En primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por 3/2 y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2y por -4, respectivamente.

Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por -2y y por ½,  respectivamente.

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

2x= 4

y/2=3/2

-z=1

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por 1/2, 2y-1 respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

Regla de Cramer

La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde A_j es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solución:

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

Resumen práctico sobre formas de resolución de sistemas de ecuaciones de 3*3

Resolución general por sustitución

determine (x ; y; z)

Igualando a cero cada una de las ecuaciones del sistema resulta:

Despejando x en (a) resulta:

Sustituyendo x en (e) y en (f) resulta:

Despejando y en (h) resulta:

Sustituyendo y en (i) resulta:

46z -20 = 0

De donde:

z = 0.43478

Reemplazando el valor de z en (h) o (i) obtenemos el valor de y ,y reemplazando z e y en cualquiera de las anteriores se llega al valor de x, de donde:

x = -2.1087

y = 2.15217

z = 0.43478

Resultados mejores, para no sufrir más:

Resolución general por triangulación

(eliminación de Gauss)

Debemos multiplicar a (b) por un número tal que si el resultado del producto es sumado a (a) y es utilizado para reemplazar a (b) el coeficiente de x sea cero. Es decir:  5n+2=0, de donde: n = -2/5, luego, -2/5(b)+(a)=(b'), Aplicando el mismo criterio a (c), tenemos  1/5 (c)+(a)=  Queda el sistema entonces:

(b') y (c') fueron multiplicados por cinco con el fin de simplificar los cálculos.  Luego se multiplica a (c') por -3/8 y se la suma a (b'), para obtener coeficiente cero para y en (c') entonces:

(c'') fue multiplicada por -1/4 con el fin de simplificar los cálculos. Se puede obtener entonces el valor de z = 1.1818181818....., que no es ni por asomo el adecuado. Ahora si entendió el mecanismo proceda a buscar los herrores cometidos en esta explicación. Suerte.

Resolución general por determinante

Recuerde la regla de Cramer para obtener el determinante de una matriz de 3x3, explicada más atrás.  Se recuerda que:

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.  En este curso estudiaremos, sobre todo, los determinantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.

1.Determinantes de segundo y tercer orden.

Definición 1. Dada una matriz de orden dos , se llama determinante de la matriz al número que se obtiene así: a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁. Se representa  det A o ∆A.

Ejemplo 1: = 3-(-8) = 11.

Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a₁₁, a₁₂) y (a₂₁, a₂₂). Se puede ver con detalle en Interpretación  Geométrica del determinante, usando el applet Descartes.

Definición 2. Sea A una matriz cuadrada de orden 3, se llama determinante de A al nº que se obtiene así:

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃.

Observar que para calcular el determinante se hacen todos los productos posibles de tres elementos que se encuentren en filas y columnas diferentes y luego se suman todos manteniendo el mismo signo o cambiado, según la regla siguiente debida a Sarrus.

Ejemplo 2. Calcula el valor del determinante de la matriz

A = .

Aplicando la regla de Sarrus A= 0 + (-4) + 28 - 0 - (-2) -8 = 18

Otra forma práctica de recordar la definición es la siguiente: Se escriben a la derecha (o debajo) de la matriz las dos primeras líneas. La diagonal principal y sus dos paralelas llevan el signo +, la diagonal secundaria y sus dos paralelas llevan el signo - .

Ejemplo 3.  Calcula el valor del determinante  = 16 +15 +18 -10 =39

Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:

a) , b) , c) ) .

Propiedades de los determinantes

Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden dos o tres.

1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det A^t . (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas).

2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.

3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número.(Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)

Ejemplo 4. El determinante  es múltiplo de 5, ya que la primera columna lo es. También es múltiplo de 7, pues lo es la 2ª columna, por lo tanto el determinante es múltiplo de 35..

Ejercicio 2. Comprueba la afirmación del ejemplo desarrollando por Sarrus.

4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es.

5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0.

Ejemplo 5. = 0, pues las dos primeras filas son proporcionales.

6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.}

Ejemplo 6:

  =   +  (Comprobarlo)

7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero.

Ejemplo 7.  = 0 , pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras.

8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía.

Ejemplo 8: A= ,a la columna 1ª se le suma la tercera  por -2, queda: B= ,

│A│=-1+(12)=-11,     │B│=-1-(12), son iguales.

9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1.

10. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes. Es decir det AB = det A. det B. Como consecuencia de esta propiedad: 11. Si  ∆Ax∆ A^-1=1 entonces ∆ A^-1 = 1/_∆A  En efecto,  A.A^-1= I ,  luego │Ax A^-1 │=1, de donde el resultado.

Ejercicio 3. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes ecuaciones:

a)  = = 8

b) = 15 = 15

Ejercicio 4. Demostrar[1], sin desarrollar,  que son ceros los siguientes determinantes:

a) ;            b) ;                c) .

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

Definición 1. Si A = (a_ij) es una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento a_ij, y se representa M_ij, al determinante de la submatriz que se obtiene al suprimir de A la fila _i y la columna _j.

Ejemplo 9. Sea A= el menor complementario del a₂₁ = -1 es

                                   M₂₁ = =-25.

Definición 2. Se llama adjunto del elemento a_ij a: A_ij = (-1)^i+j M_ij.Nota. El adjunto de un elemento es igual a su menor complementario si la suma de subíndices es par, y a su opuesto si es impar.

Ejemplo 10. El adjunto del elemento a₂₁ = -1, de la matriz de ejemplo 1, es A₂₁=25. Proposición 1 . Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un línea cualquiera por sus respectivos adjuntos.

Demostración.

 (La haremos para los de orden 3)

= aplicando la regla de Sarrus se tiene:

∆A= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃;

sacando factor común los elementos de la primera fila:

∆A= a₁₁(a₂₂a₃₃-a₂₃a₃₂) + a₁₂(a₂₃a₃₁- a₂₁a₃₃) +a₁₃(a₂₁a₃₂-a₂₂a₃₁),  es decir:

∆A= a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃

Análogamente se haría para cualquier otra línea.

Nota. Esta proposición nos da otra forma de calcular determinantes, se dirá que se ha obtenido su valor desarrollando por los elementos de una línea

Ejemplo 11. Calcula el determinante de  A =

Solución.

Desarrollamos por la 2ª fila:

=  - (-1) + 0 -1 = -25 + 11 = -14

Proposición 2. La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de otra paralela es cero. Demostración. Es inmediata pues correspondería al desarrollo de un determinante con dos líneas iguales, y por las propiedades de los determinantes sería 0.

Determinantes de orden cualquiera.

Los métodos que vamos a indicar sirven para determinantes de cualquier orden, aunque nos limitaremos en los ejemplos a los de orden 4 o 5. M1) Triangulación de un determinante Utilizando la propiedad 9 de los determinantes podemos conseguir un determinante triangular (sup. o inf. ) y,  su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal. La técnica para triangular un determinante es similar a la aplicada en el método de Gauss.

Ejercicio 5. Calcula el determinante: D= , triangulandolo. M2) Reducción del orden. Se basa en la Proposición 1. Nota. Como se puede elegir cualquier línea se tomará aquella que tenga más ceros.

Ejemplo 12. Calcula el valor del determinante D= .

Solución: Desarrollando por la 1ª columna:

D = 1. = 1.2. =1.2.3. =48

Ejercicio 6. Calcula el valor de D, del ejercicio 1, desarrolllando por la 3ª fila. Observaciones. Al calcular un determinante de orden 4, por este método, tenemos que calcular cuatro determinantes de orden tres, que, aunque fácil, es laborioso. En el ejemplo resuelto resultaba muy  "oportuno" el que en las columnas haya tantos 0. M3) Este método se puede considerar una "combinación" de M1 yM2 . En primer lugar elegimos una línea y hacemos cero todos sus elementos menos uno; después desarrollamos por dicha línea y así sólo hay que calcular un derterminante de orden tres. Este proceso se puede generalizar.

Ejemplo 13. Calcula el valor de D= .

Solución

Elegimos la fila 3ª vamos a hacer 0 todos los elementos menos el a_33, 

^{C1+ C3} _> ^{C2 + 2C3} _> ^{C4 + 2C3} _>

= - (Terminarle)

Determinante de Vandermonde.

El de orden 4 es de la forma V = Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a, empezando desde abajo .

Nos queda: =(b-a)(c-a)(d-a) Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiedo el mismo proceso, = (c-b)(d-b) = (c-b)(d-b)(d-c). Luego: V = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c).

Ejemplo 14. Calcula el valor de  D = .  Solución:  Sacando factor común a, b, y c  obtenemos D= a.b.c = a.b.c.(b-a)(c-a)(b-c). Pues el determinante que resulta es de Vandermonde.

Calculo de la  inversa de una matriz cuadrada

Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es que nos da un criterio para decidir cuándo una matriz posee inversa. Teorema. Una matriz cuadrada A es inversible  Además su inversa es:

 A^-1  = .

Demostración .

Es consecuencia inmediata de las proposiciones 1 y 2. (Comprobarlo)*Este teorema nos da un método  para calcular la inversa:1) Se calcula det A. Si da 0: A no tiene inversa. Si da distinto de 0:2) Se calcula la matriz adjunta de A, adj A,  es decir, la que tiene por elementos a los adjuntos de A:

 (adj A)=

3) Se traspone la matriz adjunta. (adj A)^t

4) Se divide por el determinante de A.

El resultado es la inversa de A. Es decir :

Ejemplo 15. Calcula la inversa de la matriz  A =

Solución. El determinante de A vale 5, luego tiene inversa.

La matriz adjunta de A es , su traspuesta es y  A^-1= .

Comprobación = =

Ejercicio 7. Calcula la inversa[2], caso de que exista, de la matriz:

A=

Aplicaciones a la resolución de sistemas lineales

I)Resolución de sistemas lineales por el método de la inversa. Sea   AX =B (1) un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Si la matriz de los coeficientes, A, tiene un determinante distinto de cero, entonces será inversible, luego multiplicando ambos miembros de (1) por A^-1,obtenemos : A^{-1 (}AX)  = A^-1B, de donde:.

II) Regla de Cramer.  Definición. Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es 0.   Consecuencia. Todo sistema de Cramer es compatible determinado. En efecto: S1 AX =B es un sistema de Cramer, entonces existe A^-1, luego (2) nos da la solución únia.

Regla de Cramer

Veamos la expresión de las soluciones en el caso de n = 3.La inversa vimos que es:

A^-1 = . =

de donde:                       x = ( b₁A₁₁ + b₂ A₂₁+ b₃ A₃₁)

.:                   Análogamente

que constituye la llamada regla de Cramer.

Ejemplo 16. Resuelve, usando la regla de Cramer, el sistema:

Solución 

A = , = 4 ≠ 0, luego es de Cramer.

x = = , y = =- = -30, z = =-11

Ejemplo 17. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k:

Solución

 A= ,  

              = - k - 1 + 4 - 2 - 2 - k = -2k - 1.

Discusión  Si  - 2k -1 0, es decir k - 1/2, entonces el sistema es de Cramer, luego el sistema es compatible determinado. La solución se encuentra usando la regla de Cramer:

x = = , 

y = =....                      z = ........(acabarle)

 Si k = -1/2,  el sistema no es de Cramer.  Sustituyendo k por -1/2, obtenemos el sistema:

Para clasificarlo y resolverlo usamos Gauss

 0z = 1/2

luego el sistema es incompatible.

Ejercicio 8. Utiliza la regla de Cramer[5] para resolver el siguiente sistema:

  x  - y + z =  1

2x +3y -2z = -2

Ejercicio 9. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k.

¿Para qué valores de k el sistema es de Cramer? Interpreta geométricamente cada caso.

Problema resuelto[6].

Un sistema económico se divide en tres sectores: 1. Agricultura, 2. Industria y 3. Servicios. Se ha estudiado en un determinado año su economía y se ha obtenido la siguiente tabla Input-Output, en miles de millones de pesetas:

El problema que se plantea es: Si el Gobierno desea que la demanda final suba hasta 16 mil millones para la Agricultura, 85 mil millones para la Industria y 65 mil millones para el sector Servicios,  ¿cuáles deben se las salidas (outputs) totales para cada sector.?

Solución:

Repasemos el esquema básico de las técnicas del análisis económico input-output, par el supuesto de una economía con sólo tres sectores.

Si x_ij  representa las ventas (outputs) del sector i al sector j, o lo que es lo mismo las compras (inputs) del sector j al sector i; D_j la demanda final y x_j la producción del sector j-ésimo, se puede escribir:

x_i1 + x_i2 + x_i3 + D_i = x_i  ;  i = 1,2,3

Estas ecuaciones reflejan la igualdad entre la suma de los importes de las ventas a cada sector productivo y a los consumidores finales (demanda final) con la producción de cada sector.

Llamando a_ij = x_ij/x_j , (coeficientes técnicos) se verifica que x_ij = a_ij x_j , con lo que nos quedaría:

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + a_i3x₃ + D_i = x_i  ;  i = 1,2,3

Si A= (a_ij) es la matriz tecnológica⁶, se puede escribir

A + = , que puede escribirse: AX + D = X

Por tanto  (I -A)X=D , multiplicando por (I - A)^-1 (la inversa de Leontief), sus dos miembros se obtiene:

igualdad que permite calcular la producción de cada sector conociendo la demanda final.

Apliquemos a nuestros datos estos resultados.

A =    I -A= ,

Su determinante da 0,393 (comprobarlo) por lo tanto tiene inversa.

Su inversa  da: ,(comprobarlo)

Luego X = 

Ejercicios propuestos del tema

1. Resuelve la siguiente ecuación

1. Errores y Mediciones, A. González Arias, Ed. Científico Técnica,1983;

2. Laboratorio de Física, Ed. ENPES, agosto 1988.

arnaldo@fisica.uh.cu 2005

Magnitudes y patrones, Instrumentos y errores de medición, Exactitud y precisión, Errores sistemáticos, de apreciación y accidentales, Error absoluto, Cifras significativas, Error relativo y porcentual, Reducción del error accidental, Propagación del error, Preguntas de control

MAGNITUDES Y PATRONES

Magnitud es todo lo que se puede medir. Medir significa comparar.Cuando medimos cualquier magnitud como, por ejemplo, una longitud o la intensidad de una corriente eléctrica, en realidad estamos comparando esa magnitud con alguna otra, que consideramos arbitrariamente como patrón. Al determinar una masa desconocida en la balanza, lo que hacemos es comparar esa masa con masas patrones (las "pesas" de la balanza). Estas pesas, a su vez, han sido comparadas (o calibradas) con algún patrón secundario. Al seguir la cadena de comparaciones se llega hasta la comparación con el kilogramo patrón, patrón universal de masa que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, cerca de París, adoptado mediante convenios internacionales.

De igual forma existen patrones para otras magnitudes, denominadas fundamentales, tales como el tiempo, la longitud y la temperatura. Diferentes sistemas de unidades reconocen diferentes magnitudes fundamentales. El Sistema Internacional de Unidades, vigente en la mayoría de los países, considera sólo siete magnitudes fundamentales, a partir de las cuales se pueden derivar todas las restantes magnitudes. Las magnitudes fundamentales del Sistema Internacional de Unidades aparecen en la tabla siguiente.

INSTRUMENTOS Y ERRORES DE MEDICIÓN

Todo objeto, equipo o aparato que pueda ser utilizado para efectuar una medición es un instrumento de medición. Puede ser algo tan sencillo como una regla graduada, que permite medir distancias del orden de 1 milímetro, hasta algo tan complejo como un difractómetro de rayos X, que puede utilizarse para medir distancias del orden de 1 Angstrom (10^-10m).

Con independencia de su complejidad y del tipo de magnitud que mida, cualquier instrumento se caracteriza por poseer alguna escala graduada (digital, de aguja, de cursor deslizante) que permite establecer la proporcionalidad entre la magnitud que deseamos medir y el correspondiente patrón.

El instrumento será más sensible o preciso en la medida que su escala sea capaz de detectar variaciones cada vez más pequeñas de la magnitud medida. El instrumento será más o menos exacto según sus valores estén en mayor o menor correspondencia con los establecidos por el patrón correspondiente.

Un instrumento puede ser muy sensible y a la vez poco exacto, al no estar su escala calibrada correctamente con relación al patrón.

La falta de exactitud en una medición se relaciona a los denominados errores sistemáticos que se analizan mas adelante.

La precisión de un instrumento usualmente se asocia al valor de la menor división de su escala. Así, una regla graduada en milímetros es más precisa que otra graduada en centímetros, y reduciendo el tamaño de la menor división de la escala tendremos instrumentos cada vez más precisos. Sin embargo, este proceso no puede continuar indefinidamente, y el hecho de que la menor división de la escala tiene que ser necesariamente una magnitud finita, conduce al concepto de error de apreciación. En principio, se entiende por apreciación de un instrumento el valor de la menor división de su escala.

Además del error sistemático y del error de apreciación existe otro tipo de error, causado esencialmente por el operador que realiza la medición al interaccionar con el instrumento, el cual es incapaz de controlar todos los factores que pueden afectar el resultado de la medición (variaciones locales de temperatura, corrientes de aire, errores visuales, ubicación imperfecta del instrumento, fluctuaciones de voltaje en la línea, presencia de campos magnéticos). Estos errores se denominan errores accidentales,

ERRORES SISTEMÁTICOS, DE APRECIACIÓN Y ACCIDENTALES

Error sistemático. Este error se origina esencialmente por una deficiente calibración del instrumento en relación al patrón. Los errores sistemáticos se pueden reducir al mínimo comparando la escala del instrumento con los valores proporcionados por patrones conocidos. (O midiendo la misma magnitud con instrumentos diferentes). Un error sistemático típico es el corrimiento del cero del instrumento, denominado error de entrada: el instrumento no marca cero cuando la magnitud medida es nula. Ese valor ficticio se añadirá o restará posteriormente al de la magnitud medida, introduciendo un error que puede ser significativo. El error de entrada se puede eliminar ajustando correctamente el cero del instrumento antes de efectuar la medición.

Otro error sistemático bastante común se relaciona con el uso de los termómetros de mercurio y alcohol. Los termómetros ordinarios de laboratorio vienen calibrados para inmersión total. Para que midan correctamente se deben introducir completamente en el sistema cuya temperatura se desea medir y esperar hasta que se alcance el equilibrio. No obstante, es posible utilizarlos con buena aproximación en inmersión parcial, pero en ese caso hay que añadir a la lectura T_o que marca el termómetro la fracción

DL es la longitud de la columna de mercurio o alcohol que sobresale del sistema, expresada en unidades de la escala del termómetro, y DT = T₂ - T₁ la diferencia entre la temperatura T₂ leída en la escala y la temperatura T₁ del cuerpo del termómetro, medida con otro termómetro en el punto medio de la parte que sobresale. El no llevar a cabo esta corrección puede conducir a un error sistemático de varios grados, tanto mayor cuanto mayor sea la parte del termómetro que queda fuera del sistema objeto de medición.

Otras fuentes comunes de errores sistemáticos son el uso de patrones no adecuados y la omisión de correcciones recomendadas por el fabricante (por ejemplo, cuando la temperatura del laboratorio no es la misma a que fue calibrado el instrumento).

Error de apreciación. Mientras mayor apreciación tenga un instrumento (es decir, mientras más pequeña sea la menor división de su escala), menor será el error de apreciación. Este error es invariable y propio del instrumento, y no puede ser eliminado o reducido en forma alguna. Es una medida del error cometido por el fabricante al comparar las lecturas de su instrumento con los patrones correspondientes. Algunas veces el error que introduce el instrumento no coincide exactamente con la menor división de la escala, por lo que siempre resulta aconsejable consultar el manual proporcionado por el fabricante para conocer el valor real del error introducido.

Algunos autores consideran el error de apreciación como un tipo de error sistemático, establecido por el fabricante en el momento de calibrar el instrumento.

Error accidental. Originado por factores accidentales o aleatorios entre los cuales se encuentran las imprecisiones de manipulación del operador que hace la medición. De los tres tipos de errores es el único que se puede reducir a niveles despreciables aplicando criterios estadísticos, después de repetir la medición un número suficiente de veces.

Los errores de medición no son equivocaciones. Son parte inherente del propio proceso de medición. Sin embargo, el error de paralaje, que se comete al leer la escala de un instrumento a causa de la falta de perpendicularidad en la observación, más que un error de medición es una equivocación del operador causada por desconocimiento o mal manejo del instrumento. Este error se origina cuando el operador desconoce que, al leer la escala del instrumento, la línea de visión debe estar perpendicular a la dirección que forman la escala y el cursor

ERROR ABSOLUTO DE UNA MEDICIÓN

Es un índice del resultado de la contribución de todos los errores de medición presentes; sistemáticos, de apreciación y accidentales. Considere la medición de una magnitud M cualquiera. A causa de la presencia de los errores de medición, sólo es posible aseverar que el valor de esa magnitud se encuentra en un cierto intervalo (A₁, A₂).

Otra forma de representar esta situación es tomar el valor medio del intervalo (A₁,A₂) como valor más probable; A = (A₁ + A₂)/2, y la mitad de ese intervalo como una medida del error cometido en la medición; dA = (A₂ - A₁)/2 . Entonces, el valor medido de la magnitud M se designa como

M = A ± dA .

dA se denomina error absoluto de la medición.

Ejemplo: L = 2.54 ± 0.02 m significa que tenemos certeza de que la longitud medida se encuentra entre 2.52 y 2.56 m (y esto es todo lo que podemos afirmar respecto a la magnitud medida).

Cuando una magnitud se mide directamente con un instrumento bien calibrado y sin errores accidentales, se acostumbra asignar al error absoluto el valor de la apreciación del instrumento.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

De acuerdo a las consideraciones anteriores sobre el error absoluto, se concluye inmediatamente que carece de sentido escribir mas cifras después del punto decimal que las estrictamente necesarias para indicar el valor de una magnitud. Por ejemplo, si se midió una densidad con un error de 0.0032 g/cm³, no tiene sentido escribir más allá de 3 ó 4 cifras después del punto decimal:

r = 0.987643 (incorrecto)

r = 0.9876 (correcto)

En el primer caso, las dos últimas cifras (43) sobran, pues el resultado de la medición sólo permite afirmar que el valor de la densidad se encuentra en el intervalo

r = 0.9876 ± 0.0032

es decir, que su valor real se encuentra entre 0.9843 y 0.9907.

Excepto en el caso de mediciones de alta precisión, se acepta comúnmente utilizar una sola cifra significativa para el error absoluto, redondeando por aproximación. Igualmente se aproxima el valor de la magnitud medida. En nuestro ejemplo, 0.0032 ≈ 0.03 y el valor a reportar será

r = 0.988 ± 0.003 g/cm³.

En los libros de texto muchas veces se omite este tipo de notación, y el error absoluto se indica solamente especificando el número de cifras significativas con que se expresa la magnitud. Es decir, si se reporta una densidad con el valor de ρ = 0.98, se sobreentiende que la misma se midió con un error absoluto no mayor de 0.01 . Sin embargo, si se reporta el valor 0.980, esto indica que el error fue 10 veces menor (0.001).

ERROR RELATIVO Y PORCENTUAL

El error relativo se define por la relación e = dM/M mientras que el error porcentual es igual al relativo multiplicado por 100.

El error relativo representa la fracción de imprecisión cometida en la medición, y resulta útil para comparar mediciones llevadas a cabo sobre diferentes magnitudes. Por ejemplo, usualmente un error porcentual del 1% (equivale a medir

Trigonometría

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida". La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones Trigonométricas Recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

La fuerza electricas depende de la constante electrostatica K, la cual se definio para el vacio y que, en terminos practicos, es la misma para el aire.  si el medio es otro, esta constante presenta variaciones notables de lal forma que la fuerza electrostatica entre los cuerpos cargados presentan variaciones. Segun el medio, la constante electrostatica K,  se espresa como sigue

donde Kd es la constante dielectrica del medio material y no tiene unidades en la tabla se muestran algunos valores

                                      Vacio            1

                                      Aire                1

                                     Vidrio               4,5

                                    Aceite               4,6

                                     Mica                 5,4

                                     Agua                81         

Asignacion Nº 1

 Corte 2